Kakve veze ima mlijeko u kafi sa kockarnicama širom SAD-a?

Foto: Thinkstock

Kada je grupa kockarskih varalica smislila kako da pobijedi kuću, nehotice su istakli rupu u promiješanom špilu. Bio je potreban mađioničar koji je postao matematičar da otkrije kako.

Rukovodioci industrije bili su zabrinuti. Njihova kompanija je proizvodila precizne mašine za mešanje karata za kazina. Hiljade njihovih mehaničkih shufflera radilo je u Las Vegasu i širom svijeta. Naknade za iznajmljivanje donosile su milione dolara svake godine, a kompanija je izlistala na Novoj berzi.

Međutim, rukovodioci su nedavno otkrili da je jednu od njihovih mašina hakovala banda prevaranata. Grupa je koristila skrivenu video kameru kako bi snimila rad uređaja za miješanje kartica kroz stakleni prozor. Slike, prenete saučesniku vani na parkingu kazina, reproducirane su u usporenoj snimci kako bi se otkrio redoslijed karata u špilu, koji je zatim prenošen nazad kockarima unutra. Kazino je izgubio milione dolara prije nego što je banda konačno uhvaćena.

Rukovodioci su bili odlučni da više ne budu hakovani. Razvili su prototip nove sofisticirane mašine za mešanje, ovaj put zatvorenu u neprozirnu kutiju. Njihovi inženjeri su ih uvjeravali da će mašina dovoljno randomizirati špil karata jednim prolazom kroz uređaj, smanjujući vrijeme između ruku, a istovremeno pobjeđivati ​​brojače karata i krive dilere. Ali morali su biti sigurni da njihova mašina pravilno promiješa špil. Trebao im je Persi Diaconis.

Diaconis, mađioničar koji je postao matematičar na Univerzitetu Stanford, smatra se najvećim svjetskim stručnjakom za matematiku miješanja karata. Kroz iznenađujuće veliku naučnu literaturu o ovoj temi, njegovo ime se stalno pojavljuje kao pik u mađioničarskom triku.

Dakle, kada su ga rukovodioci kompanije kontaktirali i ponudili mu da vidi unutrašnje funkcionisanje njihove mašine – bukvalno „crne kutije“ – nije mogao da veruje u svoju sreću.

Sa svojom saradnicom Suzan Holmes, statističarkom na Stanfordu, Diaconis je otputovao u salon kompanije u Las Vegasu kako bi ispitao prototip njihove nove mašine. Par je ubrzo otkrio nedostatak. Iako je akcija mehaničkog miješanja izgledala nasumično, matematičari su primijetili da rezultujući špil i dalje ima sekvence rasta i pada, što je značilo da su mogli da predviđaju redoslijed karata.

Da bi to dokazali rukovodiocima kompanije, Diaconis i Holmes su osmislili jednostavnu tehniku za pogađanje koja će karta biti sljedeća. Ako je prva preokrenuta karta bila petica srca, recimo, oni su pogodili da je sljedeća karta šestica srca, pod pretpostavkom da se redoslijed diže. Ako je sljedeća karta zapravo niža – četvorka srca, na primjer – to je značilo da su bili u nizu pada, a njihova sljedeća pretpostavka je bila trojka srca.

Sa ovom jednostavnom strategijom, matematičari su bili u mogućnosti da tačno pogode devet ili 10 karata po špilu – jednu petinu ukupnog broja – dovoljno da udvostruče ili utrostruče prednost kompetentnog brojača karata.

Brojanje karata je praksa u kojoj igrač prati koje su karte podijeljene kako bi imao malu prednost predviđajući vjerovatnoću da će sljedeća karta biti pobjednička ili poražena. Praksa postoji već decenijama (i u nekim igrama poput Bridgea je legitiman dio igranja), ali je jako razbijena u kazino igrama kao što je Blackjack. Upotreba tehnologije za pomoć brojaču kartica je zabranjena.

Rukovodioci su bili užasnuti. "Nismo zadovoljni vašim zaključcima", napisali su Diaconisu, "ali im vjerujemo i za to smo vas angažirali." Kompanija je tiho odložila prototip i prešla na drugu mašinu. Diaconis je proveo cijeli život proučavajući probleme koji žive na granici između reda i slučajnosti. Bilo da se radi o dekodiranju kodiranih poruka, ponovnom sastavljanju lanaca DNK ili optimizaciji web pretraživača, on ima sposobnost da ove probleme pretvori u pitanje o miješanju kartica.

Njegovo interesovanje za karte počelo je slučajnim susretom 1958. Sa 13 godina, u Tannenovom magijskom emporijumu na Tajms skveru u Njujorku, Diaconis je upoznao Aleksa Elmslija, škotskog kompjuterskog naučnika i mađioničara koji je savladao "savršeno mešanje". Ponekad se naziva "faro shuffle" ili jednostavno "tehnika", savršeno miješanje uključuje podjelu špila na dva snopa od tačno 26 karata svaki i savršeno ih tkanje zajedno poput patent zatvarača, naizmjenično preplitajući po jednu kartu iz svake ruke. Vrlo malo ljudi to može učiniti ispravno za manje od 10 sekundi. Diaconis je jedan.

Kockari i mađioničari vekovima koriste savršeno mešanje jer daje iluziju nasumičnog mešanja karata. Ali to je daleko od slučajnog. U stvari, ako izvedete isti niz savršenih miješanja osam puta zaredom, špil će magično vratiti svoj izvorni redoslijed.

Diaconis voli da demonstrira savršeno mešanje tako što uzme novi špil karata i napiše reč "RANDOM" debelim crnim markerom na jednoj strani. Dok izvodi svoje spretnosti s kartama, slova se miješaju, pojavljuju se povremeno u sablasnom obliku, poput nesavršeno podešene slike na starom TV prijemniku. Zatim, nakon što izvrši osmo i posljednje miješanje, riječ se ponovo materijalizira na strani špila. Karte su u svom tačnom originalnom nizu, od asa pikova do asa srca.

Još u Tannenovom Magic Emporiumu, Elmsley je objasnio suptilnu matematiku iza trika. Zamislite da brojite novi špil karata od jedan do 52, pri čemu je jedna karta na vrhu špila, a 52 karta na dnu. Dok izvodite savršeno miješanje, karte se pomiču na nove pozicije u špilu. Na primjer, karta koja je prvobitno bila na poziciji dva će se pomjeriti na poziciju tri, dok će se kartica na poziciji tri pomjeriti na poziciju pet, a kartica na poziciji 27 će se vratiti na poziciju dva, i tako dalje.

Jednom kada promiješate špil sedam puta, karte postaju zaista pomiješane, barem koliko većina statističkih testova može dokazati

Savršeno mešanje se može zamisliti kao čitav niz ciklusa, poput odvojenih igara muzičkih stolica. Broj miješanja potrebnih da se karte vrate u njihov ispravan redoslijed je najmanji zajednički umnožak dužina svih ciklusa: u ovom slučaju osam miješanja (osam je najmanji višekratnik od jedan, dva i osam).

Sljedeće godine, sa 14 godina, Diaconis je pobjegao od kuće kako bi naučio magiju pod vodstvom poznatog mađioničara koji je vještina. Proveli su 10 godina na putu, učeći svaki mogući stil mešanja i tragajući za pokvarenim dilerima kako bi naučili njihove tehnike.

Ali njegov razgovor sa Elmslijem izazvao je Dijakonisovu radoznalost. Koje su još veze između matematike i magije?

Dijakonis kaže da će na svom nadgrobnom spomeniku imati uklesano "sedam mešanja dovoljno". On misli na svoju najpoznatiju spoznaju: da je potrebno sedam "promiješanja puške" da bi se špil karata dovoljno nasumično rasporedio. Riffle shuffle je poznata tehnika, koju koriste kazina i ozbiljni igrači u kartama, u kojoj se špil prepolovi, a zatim spoji zajedno sa zadovoljavajućim rajsferšlusom, često završavajući bridž završetkom koji okuplja karte u urednu gomilu.

Riffle shuffle je neposlušni blizanac savršenog shuffla. Umjesto savršenog preplitanja dvije polovice špilova, polovice se miješaju u neuredne grudvice, usadjujući sjeme nasumice koje progresivno miješa karte pri svakom miješanju.

Nakon jednog ili dva miješanja puške, neke karte će ostati u svom originalnom nizu. Čak i nakon četiri ili pet miješanja – daleko više nego što većina kazina obično koristi – špil će zadržati neki trag reda. Ali kada jednom promiješate špil sedam puta, karte postaju zaista pomiješane, barem koliko većina statističkih testova može dokazati. Osim toga, dalje miješanje neće učiniti mnogo. "To je onoliko blizu slučajnom koliko može biti", kaže Diaconis.

Da bi rigorozno proučavao mešanje pušaka, Diaconis je koristio moćan matematički alat nazvan Markovljev lanac.

„Markovljev lanac je svaka ponovljena radnja u kojoj ishod zavisi samo od trenutnog stanja, a ne od toga kako je do tog stanja došlo“, objašnjava Sami Hayes Assaf, matematičar sa Univerziteta Južne Kalifornije. To znači da Markovljevi lanci nemaju "pamćenje" onoga što je bilo prije. Ovo je prilično dobar model za miješanje karata, kaže Assaf. Rezultat sedmog miješanja ovisi samo o redoslijedu karata nakon šestog miješanja, a ne o tome kako je špil promiješan pet puta prije toga.

Markovljevi lanci se široko koriste u statistici i informatici za rukovanje nizovima nasumičnih događaja, bilo da se radi o miješanju karata ili vibrirajućim atomima ili fluktuacijama cijena dionica. U svakom slučaju, buduće „stanje“ – poredak špila, energija atoma, vrednost zaliha – zavisi samo od onoga što se dešava sada, a ne od onoga što se dogodilo ranije.

Uprkos njihovoj jednostavnosti, Markovi lanci se mogu koristiti za predviđanje vjerovatnoće određenih događaja nakon mnogo iteracija. Googleov PageRank algoritam, koji rangira web stranice u njihovim rezultatima tražilice, baziran je na Markovljevom lancu koji modelira ponašanje milijardi korisnika interneta koji nasumično kliknu na web linkove.

Radeći sa Daveom Bayerom, matematičarem sa Univerziteta Kolumbija u New Yorku, Diaconis je pokazao da Markovljev lanac koji opisuje miješanje puške ima oštar prijelaz od naređenog u nasumično nakon sedam miješanja. Ovo ponašanje, poznato matematičarima kao granični fenomen, uobičajena je karakteristika problema koji uključuju miješanje. Razmislite o miješanju mlijeka u kafu: dok miješate, krema formira tanke bijele pruge u crnoj kafi prije nego što se iznenada, i nepovratno, pomiješaju.

Znajući na kojoj strani odsečenog špila se nalazi špil karata – da li je pravilno promešan ili još uvek čuva neku uspomenu na svoj prvobitni redosled – daje kockarima jasnu prednost u odnosu na kuću.

Tokom 1990-ih, grupa studenata na Harvardu i MIT-u bila je u mogućnosti da nadmaši šanse igrajući blackjack u kockarnicama širom SAD-a koristeći brojanje karata i druge metode da otkrije da li je špil pravilno promiješan. Kazina su odgovorila uvođenjem sofisticiranijih mašina za mješanje karata i miješanjem špila prije nego što se u potpunosti odigra, kao i pojačanim nadzorom igrača. Ali još uvijek je rijetko vidjeti špil karata koji se strojno miješa sedam puta u kasinu.

Rukovodioci kazina možda nisu obraćali mnogo pažnje na Diaconisa i njegovo istraživanje, ali on i dalje ima ogroman uticaj na matematičare, statističare i kompjuterske naučnike koji proučavaju slučajnost. Na konferenciji održanoj na Stanfordu u januaru 2020. u čast Diaconisovog 75. rođendana, kolege iz cijelog svijeta održale su predavanja o matematici genetske klasifikacije, kako se žitarice talože u kutiji za tresenje i, naravno, miješanju karata.

Sam Diaconis ne mari mnogo za kockanje – kaže da postoje bolji i zanimljiviji načini za život. Ali on ne zamjera igračima koji pokušavaju dobiti prednost koristeći svoj mozak.

"Razmišljanje nije varanje", kaže on. "Razmišljanje je razmišljanje."